Skin Effekt Belag und Impedanz: Update

Ralf Schlatterbeck

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In meinem letzten Post [1] habe ich mich gefragt, warum meine Implementierung von Skin Effekt Belag (Drähte mit einem endlichen Widerstand) nicht mit den Resultaten von NEC-2 übereinstimmten. Es stellt sich heraus dass ich falsch lag in der Annahme dass Skin-Effekt Belag nur eine rein ohmsche Komponente hat, durch den Skin Effekt ergibt sich in Wirklichkeit eine relativ große reaktive Komponente.

Hinweis: Dieser Artikel enthält ziemlich viel Mathematik, vielleicht möchten Sie ja ans Ende scrollen und checken wie die neue Implementierung in pymininec sich verglichen mit meinem letzten Artikel verhält wo nur ein rein ohmscher Widerstand angenommen wurde.

Der englische Wikipedia Artikel zum skin effect enthält die korrekte Formel:

\begin{equation*} \newcommand{\Int}{{\mathrm\scriptscriptstyle int}} \newcommand{\ber}{\mathop{\mathrm{ber}}\nolimits} \newcommand{\bei}{\mathop{\mathrm{bei}}\nolimits} \end{equation*}
\begin{equation*} Z_\Int = \frac{k\rho}{2\pi r}\frac{J_0 (kr)}{J_1 (kr)} \end{equation*}

wobei

\begin{equation*} k = \sqrt{\frac{-j\omega\mu}{\rho}} \end{equation*}

und \(r\) ist der Draht-Radius, \(J_v\) sind die Bessel-Funktionen der ersten Gattung mit der Ordnung \(v\). \(Z_\Int\) ist die Impedanz pro Längeneinheit des Drahtes.

NEC-2 verwendet eine andere Formel [2] (S.75):

\begin{equation*} Z_i = \frac{j\Delta_i}{a_i} \sqrt{\frac{\omega\mu}{2\pi\sigma}} \left[\frac{\ber (q) + j\bei (q)} {\ber^\prime(q)+ j\bei^\prime(q)}\right] \end{equation*}

mit

\begin{equation*} q = (\omega\mu\sigma)^{1/2} a_i \end{equation*}

und \(a_i\) ist der Draht-Radius, \(\Delta_i\) die Länge des Drahtsegments, \(\sigma\) die Elektrische Leitfähigkeit des Drahtes und \(\ber\) und \(\bei\) die Kelvin-Funktionen. Im folgenden werde ich wieder \(r\) für den Draht-Radius, und nicht \(a_i\) verwenden. Nachdem \(\ber^\prime\) die Ableitung von \(\ber\) ist, können wir \(\ber\) als \(\ber_0\) (Ordnung 0) und \(\ber^\prime\) als \(\ber_1\) (Ordnung 1) schreiben und analog für \(\bei\).

Im folgenden bin ich etwas ungenau in der Verwendung der magnetischen Permeabilität im Freiraum \(\mu_0\) vs. der Permeabilität eines Drahtes \(\mu\), für nicht ferromagnetische Drähte sind diese (fast) identisch: \(\mu = \mu_r * \mu_0\) mit \(\mu_r\approx 1\) für nicht ferromagnetische Materialien.

Der NEC-2 code verwendet die Fortran Funktion ZINT mit zwei Parametern, der Leitfähigkeit multipliziert mit der Wellenlänge \(\lambda\) (Parameter SIGL) und der Radius geteilt durch die Wellenlänge \(\lambda\) (Parameter ROLAM). Neben der Approximation der Kelvin-Funktionen (der Term mit dem Bruch aus Kelvin-Funktionen ist BR1), berechnet ZINT:

X = SQRT (TPCMU * SIGL) * ROLAM
ZINT = FJ * SQRT (CMOTP / SIGL) * BR1 / ROLAM

mit TPCMU = 2368.705, CMOTP=60.0, und FJ ist \(j\). Das berechnete X wird der Berechnung der Kelvin-Funktionen übergeben mit BR1 als Resultat des Bruch-Terms. Das berechnete ZINT enthält nicht die Segment-Länge, ist also äquivalent mit der Wikipedia Definition in pro Längeneinheit. Mit den Reverse-Engineerten magischen Zahlen

CMOTP \(\approx \frac{\mu_0 c}{2\pi}\)

TPCMU \(\approx 2\pi c\mu_0\)

(\(c\) ist die Lichtgeschwindigkeit) bekommen wir für X aus dem Code (was wir jetzt \(q\) nennen um mit der obigen Formel aus [2] konsistent zu sein):

\begin{align*} q &= \frac{r}{\lambda}\sqrt{2368.705\sigma\lambda} \\ &= r\sqrt{\frac{2368.705\sigma}{\lambda}} \\ &\approx r\sqrt{\frac{2\pi c\mu_0\sigma}{\lambda}} \\ &= r\sqrt{\frac{2\pi c\mu_0\sigma f}{c}} \\ &= r\sqrt{\frac{2\pi \mu_0\sigma \omega}{2\pi}} \\ &= r\sqrt{\omega\mu_0\sigma} \\ \end{align*}

Was mit der obigen Definition von \(q\) in [2] übereinstimmt.

Für \(Z_\Int\) der Fortran-Implementierung bekommen wir:

\begin{align*} Z_\Int &= \frac{j}{r} \sqrt{\frac{\mu_0 c}{2\pi\sigma\lambda}} \left[\frac{\ber_0 (q) + j\bei_0 (q)} {\ber_1(q)+ j\bei_1(q)}\right] \\ &= \frac{j}{r} \sqrt{\frac{\mu_0 c f}{2\pi\sigma c}} \left[\frac{\ber_0 (q) + j\bei_0 (q)} {\ber_1(q)+ j\bei_1(q)}\right] \\ &= \frac{j}{r} \sqrt{\frac{\mu_0 f}{2\pi\sigma}} \left[\frac{\ber_0 (q) + j\bei_0 (q)} {\ber_1(q)+ j\bei_1(q)}\right] \\ &= \frac{j}{r} \sqrt{\frac{\mu_0 \omega}{2\pi 2\pi\sigma}} \left[\frac{\ber_0 (q) + j\bei_0 (q)} {\ber_1(q)+ j\bei_1(q)}\right] \\ &= \frac{j}{2\pi r} \sqrt{\frac{\mu_0 \omega}{\sigma}} \left[\frac{\ber_0 (q) + j\bei_0 (q)} {\ber_1(q)+ j\bei_1(q)}\right] \\ \end{align*}

Diese Formel stimmt NICHT mit der Formel für \(Z_i\) aus [2] weiter oben überein. Es sieht so aus als ob die Formel aus [2] (S. 75) die Frequenz \(f\) statt der Kreisfrequenz \(\omega\) unter der Wurzel haben sollte. Die aus der NEC-2 Implementierung abgeleitete Formel ist aber konsistent mit der obigen Formel aus Wikipedia.

Der Term vor dem Bruch mit den Kelvin-Funktionen unterscheidet sich um einen Faktor von der Wikipedia Formel (Ich lasse \(\Delta_i\) weg und habe so eine Formel pro Längeneinheit wie in Wikipedia). Ausserdem gilt \(\rho=1/\sigma\):

Aus dem Code abgeleitet:

\begin{equation*} \frac{j}{2\pi r}\sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}} \end{equation*}

Aus Wikipedia:

\begin{equation*} \frac{k\rho}{2\pi r} = \sqrt{\frac{-j\omega\mu}{\rho}}\frac{\rho}{2\pi r} = \frac{1}{2\pi r}\sqrt{-j\omega\mu\rho} = \frac{1}{2\pi r}\sqrt{\frac{-j\omega\mu}{\sigma}} \end{equation*}

Das ist ein Faktor von

\begin{equation*} \frac{\sqrt{-j}}{j} = -\frac{1+j}{\sqrt{2}} \end{equation*}

weil \(\sqrt{-j} = \frac{1-j}{\sqrt{2}}\)

Für die Kelvin-Funktionen gilt die folgende Äquivalenz zu den Bessel Funktionen [3] (10.61, Kelvin Functions):

\begin{equation*} \ber_v x + j \bei_v x = J_v \left(xe^{3\pi j/4}\right) = e^{v\pi j} J_v \left(xe^{-\pi j / 4}\right) \end{equation*}

Mit den Spezialfällen der Ordnung 0 und 1:

\begin{align*} \ber_0 x + j \bei_0 x &= e^{0} J_0 \left(xe^{-\pi j / 4}\right) \\ &= J_0 \left(\frac{1-j}{\sqrt{2}}x\right) \\ \ber_1 x + j \bei_1 x &= e^{j\pi} J_1 \left(xe^{-\pi j / 4}\right) \\ &= -J_1 \left(\frac{1-j}{\sqrt{2}}x\right) \\ \end{align*}

Die Wikipedia Formel übergibt \(kr\) an die Bessel-Funktionen:

\begin{equation*} kr = r\sqrt{\frac{-j\omega\mu}{\rho}} = r\sqrt{-j\omega\mu\sigma} \end{equation*}

während NEC-2 folgendes übergibt:

\begin{equation*} q = r\sqrt{\omega\mu\sigma} \end{equation*}

Diese unterscheiden sich um den Faktor \(\sqrt{-j}\). Das bedeutet wir übergeben einen Faktor um \(\sqrt{2}\) zu groß an die Bessel-Funktionen. Daraus ergibt sich wegen der Symmetrie der Bessel Funktionen und er Tatsache dass die Funktionen im Nenner die Ableitung der Funktionen im Zähler sind, dass das Ergebnis um einen Faktor von \(\sqrt{2}\) zu groß ist was den Faktor im ersten Term ausgleicht.

Nach der Implementierung der neuen Formel in pymininec verhält sich der reaktive Teil der Impedanz ähnlich wie bei NEC-2 und der ohmsche Widerstand ist noch näher an den Ergebnissen von NEC als vorher.

Auch wenn man den Imaginärteil (die Reaktanz) plottet sind die Resultate jetzt wie erwartet. Die Werte von MMANA sind immer noch überraschend, eine mögliche Ursache ist dass ich MMANA unter WINE in Linux verwendet habe, die ohmschen Werte der Impedanz die von MMANA berechnet wurden schauen allerdings korrekt aus.