Optimierung mit Epsilon-Randbedingungen



Viele Optimierungsprobleme beinhalten Randbedingungen die von gültigen Lösungen erfüllt sein müssen. Ein Optimierungsproblem mit Randbedingungen wird typischerweise als nichtlineares Programmierungs-Problem formuliert [1].

\begin{align*} \hbox{Minimiere} \; & f_i(\vec{x}), & i &= 1, \ldots, I \\ \hbox{Unter den Bedingungen} \; & g_j(\vec{x}) \le 0, & j &= 1, \ldots, J \\ & h_k(\vec{x}) = 0, & k &= 1, \ldots, K \\ & x_m^l \le x_m \le x_m^u, & m &= 1, \ldots, M \\ \end{align*}

In diesem Problem gibt es \(n\) Variablen (der Vektor \(\vec{x}\) hat die Länge \(n\)), \(J\) Ungleich-Bedingungen, \(K\) Gleichheits-Bedingungen und die Variable \(x_m\) muss im Bereich \(|x_m^l, x_m^u|\) sein (als Box-Bedingung bezeichnet). Die Funktionen \(f_i\) heissen Zielfunktionen. Probleme mit mehreren Zielfunktionen habe ich schon früher in diesem Blog [2] beschrieben. Im folgenden werde ich einige Begriffe ohne weitere Erklärung verwenden die in diesem früheren Blogbeitrag eingeführt wurden.

Die Zielfunktionen werden nicht notwendigerweise minimiert (wie in der Formel angegeben) sondern können auch maximiert werden wenn das Problem dies verlangt. Die Ungleich-Bedingungen werden auch oft mit einem \(\ge\) Zeichen formuliert, die Formal kann einfach umgestellt werden (z.B. durch Multiplikation mit -1) um ein \(\le\) Zeichen zu verwenden.

Nachdem es recht schwer ist, Gleichheits-Bedingungen zu erfüllen, besonders wenn diese in nichtlinearen Funktionen der Eingabevariablen auftreten, werden Gleichheits-Bedingungen oft in Ungleich-Bedingungen umgewandelt unter Verwendung einer δ‑Umgebung:

\begin{equation*} -\delta \le h_k(\vec{x}) \le \delta \end{equation*}

Wobei δ so gewählt wird dass die Lösung gut genug für das zu lösende Problem ist.

Eine sehr erfolgreiche Methode zur Lösung von Problemen mit Randbedingungen verwendet eine lexicographische Ordnung von Randbedingungen und Zielfunktion(en). Lösungskandidaten des Problems werden zuerst nach verletzten Randbedingungen sortiert (typischerweise der Summe der Verletzung von Randbedingungen) und dann nach dem Wert der Zielfunktion(en) [1]. Beim Vergleich von zwei Individuen während der Selektionsphase des Genetischen Algorithmus gibt es drei Fälle: Wenn beide Individuen die Randbedingungen verletzen gewinnt das Individuum mit der kleineren Verletzung der Bedingungen. Wenn ein Individuum keine Bedingung verletzt, das andere aber schon, gewinnt das Individuum ohne Verletzung von Randbedingungen. Im letzten Fall dass keines der Individuen die Bedingungen verletzt, findet ein normaler Vergleich der Zielfunktionen statt (was vom verwendeten Algorithmus abhängt und ob maximiert oder minimiert wird). Diese Methode, ursprünglich von Deb [1] vorgeschlagen ist in PGAPack und im Python Wrapper PGAPy implementiert.

Mit diesem Algorithmus zur Behandlung von Randbedingungen, werden zuerst Lösungskandidaten gefunden die keine Randbedingung verletzen bevor der Algorithmus die Zielfunktionen überhaupt "anschaut". Daher passiert es dann oft, dass die Suche in einer Region endet wo es keine guten Lösungen gibt (aber dafür keine Randbedingungen verletzt sind). Schwierige Probleme, bei welchen dies auftritt, sind oft Probleme mit Gleichheits-Bedingungen aber es gibt auch andere "schwierige" Randbedingungen. In einem früheren Blog Post [2] zur Antennen-Optimierung habe ich geschrieben: "dass der Optimierungs-Algorithmus Schwierigkeiten hat, überhaupt sinnvolle Lösungen für die Direktor-Variante zu finden. Nur bei einer handvoll Experimente war es überhaupt möglich, die obige Pareto-Front zu finden."

In diesem Experiment habe ich 50 Optimierungsläufe durchgeführt und nur 5 davon sind nicht in einem lokalen Optimum steckengeblieben. Etwas ähnliches passiert bei Problem 7 in Deb's Artikel [1] wo Gleichheits-Bedingungen verwendet werden. Ich habe dieses als Beispiel 7 in PGAPack implementiert. Es wird nur eine Lösung nahe dem (bekannten) Optimum gefunden wenn \(\varepsilon \ge 10^{-2}\) für alle Gleichheits-Bedingungen ist (ich habe nicht mit verschiedenen Anfangswerten für den Zufallszahlengenerator experimentiert, es könnte sein dass man mit einem anderen Startwert bessere Lösungen findet). Im Artikel [1] verwendet Deb \(\varepsilon = 10^{-3}\) aus dem selben Grund.

Eine Methode, um dieses Problem zu verbessern, war attraktiv, weil sie sowohl einfach zu verstehen als auch zu implementieren ist: Takahama und Sakai haben zuerst mit einer Methode experimentiert um unter gelockerten Randbedingungen in der Frühphase der Optimierung zu arbeiten, sie nannten dies einen Genetischen Algorithmus mit α‑Randbedingungen [3]. Die Methode wurde später vereinfacht und als Optimierung mit ε‑Randbedingungen bezeichnet. Sie kann für verschiedene Optimierungsalgorithmen verwendet werden, nicht nur für Genetische Algorithmen und Varianten [4]. Von speziellem Interesse in diesem Zusammenhang ist die Anwendung der Methode für Differential Evolution [5], [6], aber natürlich kann sie auch für andere Formen von Genetischen Algorithmen verwendet werden.

Das ε im Namen dieser Methode kann für das δ bei der Konversion von Gleichheits-Bedingungen in Ungleich-Bedingungen verwendet werden, ist aber nicht auf diesen Anwendungsfall eingeschränkt.

Während des Optimimierungslaufes wird in jeder Generation ein neuer Wert für ε berechnet. Der Vergleich von Individuen wie oben skizziert wird so modifiziert, dass ein Individuum so behandelt wird als verletze es keine Randbedingung wenn die Verletzung der Randbedingungen kleiner ist als ε. Wenn also beide Individuen die Randbedingungen um mehr als ε verletzen gewinnt das Individuum mit der kleineren Verletzung. Wenn ein Individuum die Bedingungen um weniger als ε verletzt, das andere aber mehr, gewinnt das erste. Und schließlich wenn die Verletzung der Randbedingungen bei beiden Individuen kleiner ist als ε findet der normale Zielfunktions-Vergleich statt.

Dieser letzte Fall ist der Schlüssel zum Erfolg des Algorithmus: Obwohl die Suche in eine Richtung zu weniger Verletzung der Randbedingungen fortschreitet, wird gleichzeitig eine gute Lösung bezogen auf die Zielfunktionenen gefunden.

Der Algorithmus startet mit der Initialisierung von \(\varepsilon_0\) mit der Summe der Verletzung der Randbedingungen des Individuums mit dem Index \(\theta\) der nach Verletzung der Randbedingungen sortierten initialen Population. Dabei ist \(\theta\) ein Parameter des Algorithmus zwischen 1 und der Populationsgröße, ein guter Wert ist etwa 20% der Populationsgröße, was auch der Standardwert in PGAPack ist. In jeder Generation \(t\) wird \(\varepsilon_t\) berechnet zu:

\begin{equation*} \varepsilon_t = \varepsilon_0 \left(1-\frac{t}{T_c}\right)^{cp} \end{equation*}

bis zur Generation \(T_c\). Nach dieser Generation wird ε auf 0 gesetzt. Der Exponent \(cp\) ist zwischen 2 und 10. Der Artikel von 2010 [6] empfiehlt zur Generation \(T_\lambda = 0.95 T_c\) den Wert \(cp = 0.3 cp + 0.7 cp_\min\) zu setzen, wobei \(cp_\min\) der fixe Wert 3 ist. Der Anfangswert von \(cp\) wird so gewählt dass zur Generation \(T_\lambda\) \(\varepsilon_\lambda=10^{-5}\) ist ausser \(cp\) wäre kleiner, dann wird es auf \(cp_\min\) gesetzt. PGAPack implementiert diese Empfehlung für \(cp\) als Standard-Einstellung, erlaubt aber das Setzen von \(cp\) zu Beginn und während der Laufzeit der Optimierung. Es ist also einfach möglich, andere Änderungen von \(cp\) zu implementieren – die Standard-Einstellung funktioniert jedoch recht gut.

Durch Optimierung mit ε Randbedingungen konnten in meinen Experimenten die Gleichheits-Bedingungen in Beispiel 7 von Deb [1] mit einer Genauigkeit von \(10^{-6}\) approximiert werden, siehe die Variable epsilon_generation im optimizer Beispiel.

Wird der antenna-optimizer mit ε‑generation 50 gestartet (das ist der \(T_c\) aus obigem Algorithmus) bleibt der Algorithmus nur in einem einzigen Fall im lokalen Optimum stecken, alle anderen Fälle finden gute Lösungen:

In dieser Grafik sind alle Lösungen von einem Optimierungslauf die von den Lösungen eines anderen Laufs dominiert werden in Schwarz eingezeichnet. Wir sehen dass die Daten von Lauf 16 keine nicht-dominierte Lösung beigetragen haben (auf der rechten Seite in der Legende fehlt die Nummer 16). In der Grafik kann man die dominierten Lösungen aus der Anzeige nehmen indem man auf den schwarzen Kreis in der Legende klickt.

Wenn der Parameter ε‑generation für den Lauf der im lokalen Optimum geendet hat auf 60 erhöht wird, findet auch der Lauf mit Zufallszahlen-Startwert 16 eine Lösung:

Es ist auch sichtbar dass die Lösungen für alle Experimente ziemlich gut (weil nahe an der Pareto-Front) sind. Der schwarze "Schatten" der dominierten Lösungen ist ziemlich nahe an der wirklichen Pareto-Front und ist gut genug um mit einem einzigen Optimierungslauf ausreichend gute Lösungen zu finden.